A méhek és a majmok zsigerből tudják, nekünk embereknek viszont fel kellett találni és meg kell tanulni. Sokáig azt gondolták, semmi szükség rá, ma pedig ezt a cikket se olvashatnád nélküle. Itt az idő, hogy végre ne csak helyiértéken kezeljük a nullát!

Nulla nélkül egyetlen számítógép vagy elektronikus kütyü se működne, mert az ezeket működtető elektronika a bináris számrendszerre épül, ami 1-esekből és nullákból áll. Nulla nélkül nem lennének értelmezhetőek a negatív számok. Nem lenne nulla fok, ezért még a víz se tudna megfagyni, hiszen a fagyáspontja se lehetne nulla. Nem lenne nulla kilométerkő, a koordináta geometriában nem lenne origó (az internetes portál persze igen – a szerk.), és folyamatosan haladnánk, hiszen állni csak zéró, azaz nulla sebességgel tudunk. Ami azonban még ennél is fontosabb, nulla nélkül nem lenne se 10, se 20, se 100 forintos érme, sem pedig 1.000, 2.000, vagy 20.000 forintos bankjegy.

Bármennyire semmiségnek tűnik, mai életünk elképzelhetetlen lenne nulla nélkül. Pedig nagyjából másfél évezreddel ezelőttig az emberiség remekül elboldogult nélküle, egy indiai matematikus, Brahmagupta volt az első, aki az i.sz. 7. században számként használta a nullát, és elkezdte megalkotni a nullával való számolás alapjait.

Az európaiak még ennél is később, a 13. században, az itáliai matematikusnak, Fibonaccinak köszönhetően kezdtek el barátkozni vele. A rómaiak szerencsére olyan zseniálisak voltak, hogy feltalálták a helyiérték nélküli számrendszert, amiben a nullára, mint üreshely indikátorra sem volt szükség.

Páros vagy páratlan, prím vagy nem prím és miért nem osztható semmi sem nullával?

A matematika egyik szépsége - már annak, aki szereti -, hogy a fogalmakból és a definíciókból megannyi érdekes dolog következik, amin aztán matematikusok évekig, de néha évszázadokig töprenghetnek. Így volt ez a nullával való osztással is. Bár mindannyian tudjuk, hisz megtanították az iskolában, hogy a nullával való osztás értelmetlen, de vajon miért? Nem, nem azért, mert nulla részre nem tudunk osztani semmit. Akkor nem tört volna bele a bicskája sok-sok matematikusnak.

Kezdjük az elején. Ha bármely számot nullával szorzunk, az nulla lesz. A szorzás ugyanis nem más, mint összeadások sorozata (pl. 1 x 5=5; 2 x 5 = 5+5, 3 x 5 = 5+5+5 és így tovább) és bármely számot nullaszor adjuk össze önmagával, az nulla lesz.

Az osztás a szorzás megfordítása (ha a hányadost, mint az osztás eredményét megszorozzuk az osztóval, megkapjuk azt a számot, amit elosztottunk), ebből következően a nullát bármely számmal elosztva nullát kapunk, hiszen, ha a nullát bármely számmal (mint osztóval) megszorozzuk, akkor az nulla lesz. A nulla éppen ezért nem lehet prímszám, mivel önmagán kívül minden természetes számmal maradék nélkül osztható. Ez nem meglepő módon a 2-re is igaz, így a nulla egyértelműen páros szám (páros számnak nevezzük azt a számot, amely maradék nélkül osztható kettővel).

A nullával való osztással azonban a nulla „feltalálója” Brahmagupta sem tudott mit kezdeni. Bár nagyvonalúan elintézte annyival, hogy ha egy számot nullával osztunk, az eredmény egy n/0 alakú tört lesz, sok matematikus érezte, hogy ez azért sántít. Kétszáz évvel később (a 9. században járunk) a szintén indiai Mahavira arra jutott, hogy ha bármely számot nullával osztunk, akkor az önmaga lesz. Ne mosolyogjunk. Az európaiak ekkoriban még az arab számokat sem ismerték. Újabb háromszáz évnek kellett eltelnie, hogy Bhaskara (megint egy indiai matematikus) rájöjjön: bármely számot minél kisebb számmal osztunk, annál nagyobb számot kapunk (pl. 1/0,1=10 1/0,001=1000 stb.). Ebből azt a következtetést vonta le, hogy nullával osztva végtelent kapunk. A gond csak az, hogy ha a végtelent megszorozzuk nullával, akkor minden számot kellene eredményül kapnunk, nem pedig nullát, ahogyan a nullával való szorzásnál már megállapítottuk. Ha pedig tovább akarjuk fokozni mindezt, és végig játsszuk az iménti gondolatsort a negatív számokra is, akkor a nullával való osztás eredménye mínusz végtelen is lehetne, ami már tényleg nonszensz, hiszen egy olyan matematikai alapműveletet sikerülne megalkotunk, amely egyszerre két eredményt is adhat, visszafelé pedig feloldhatatlan ellentmondásba ütközünk vele.

Hogyan fogja fel agyunk a semmit?

A kognitív pszichológia szerint a nulla megértésének négy jól elkülöníthető foka van. Az első hármat az állatvilág jelentős része meg tudja ugrani, a negyedikre viszont jelen ismereteink szerint csak az ember képes.

1.     ÉSZLELÉS: Annak észlelése, hogy valami van vagy nincs. Van fény vagy nincs. Megszólal egy bizonyos hang, vagy elhallgat.

2.     KIVÁLTOTT VISELKEDÉS: Amikor az észleléshez már cselekvés is társul. Ha eltűnik az élelem, megkeressük.

3.     NULLA MINT MENNYISÉG: Amikor tudatosul valakiben, hogy a nulla kevesebb mint egy.

4.     NULLA MINT SZIMBÓLUM: Amikor nem csak azt értjük meg, hogy a nulla kevesebb mint 1 vagy bármely megszámlálható mennyiség, hanem anélkül tudunk vele számolni, gondolkodni, hogy más mennyiséggel összehasonlítanánk. E tekintetben lényegtelen, milyen szimbólummal jelöljük a nullát. 

Miért kell mégis megtanulni?

Bármilyen hatalmas agyat is adott nekünk a természet több milliárd idegsejttel, a nulla fogalma és használata nincs belénk kódolva és még a harmadik fokozatot is csak nagyjából 4-5 éves korban kezdjük megtanulni. A negyedik fokozat pedig sokaknak felnőttként is fejtörést okoz.

Tudományos kísérletekben (pl. Brannon, Merrit) gyerekeknek és állatoknak olyan kártyákat mutattak, amelyeken különböző számban pontok vagy egyéb jelek voltak. A feladat mindig az volt, hogy válasszák ki, melyik kártyán látható a legkevesebb. Minél nagyobb volt a különbség a pontok száma között, a tesztalanyok annál magabiztosabban választották ki a helyes megoldást. Ha az egyik kártyán 1 pont szerepelt, a gyerek több mint 60%-a még akkor is megtalálta helyes megoldást, ha 2 ponthoz kellett hasonlítaniuk. Ha azonban az egyik kártya üres volt (ún. üres szett), a gyerekeknek csupán a fele választotta ki az üres lapot, mint legkevesebbet ábrázoló kártyát, és még nagyobb számok esetén is csak 70-80%-uk fedezte fel, hogy az üres lap tartalmazza a legkevesebb pontot. (ha kíváncsi vagy a kísérletekre, vagy a teljes tanulmányra, itt >>> elolvashatod)

A majmok mindaddig a gyerekekhez hasonló eredményességet produkáltak az üres lap választásában, amíg 1-2 ponthoz kellett hasonlítani, viszont több pont esetében sokkal sikeresebbek voltak. A méhek pedig, akiknek az idegrendszere lényegesen fejletlenebb a miénkénél (a mi cca. 100,000,000,000 idegsejtünkkel ellentétben, nekik mindössze 1,000,000 adatott) vagy a majmokénál, a kísérletek alapján 60-70%-ban választják az üres lapot.

A felnőttek számára ugyan általában egyértelmű az üres lap választása, a kutatók megfigyelték, hogy minden rangsorolási feladatot lassabban oldanak meg (feltételezhetően azért, mert több gondolkodás szükséges hozzá), amikor a készlet üres lapot tartalmaz.  Ha azonban már konkrét számokat (azaz szimbólumokat) kell rangsorolni, még komolyabb megpróbáltatást jelent a nulla helyes rangsorolása, mint amikor anélkül kell a számokat növekvő vagy csökkenő sorrendbe állítani.

Szerencsére mindannyiunk agya képes arra, hogy megtanulja a nulla értelmezését és helyes használatát. Ehhez azonban fontos lenne, hogy óvodás kortól az iskolai a matematika oktatásig végre komolyan vegyük a nullát és ne 1-szerűen 0-ként tekintsünk rá�!