Miért pont a Fibonacci számok mozgatják a világmindenséget?
2014. október 12. írta: Curiocity

Miért pont a Fibonacci számok mozgatják a világmindenséget?

Mindenütt ott vannak. A csigaháztól, a fülkagylónkon át a galaxisokig szinte minden spirális képződményben. De vajon honnan ismeri a mikro és makrokozmosz a Fibonacci sorozatot? Netán a világmindenséget ez alapján teremtette a Mindenható?

gabonakorok.jpg

Galilelo Galileo mondta volt, hogy a „természet nagy könyve a matematika nyelvén íródott”. Ennek mi sem szolgál ékesebb bizonyítékaként, minthogy nyitott szemmel járva a világban, lépten-nyomon ugyanabba a rejtélyes számsorba botlunk, akár Robert Langdon a Da Vinci kódban, mégpedig a Fibonacci számsorba.

A számsor lényege, hogy minden szám az azt megelőző két szám összege, azaz:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …

 

Tényleg mindenütt jelen vannak?

 

Ahhoz, hogy belássuk, milyen szinten van jelen a számsor mindennapi életünkben, elég, ha ránézünk saját kezünkre. 2 kezünkön 5 ujjunk van és mindegyik ujjunkon 3 ujjpercünk, ágyéki csigolyánk pedig nem több, nem kevesebb csontból áll, mint 5-ből.

Számos virág szirmainak száma valamilyen Fibonacci fibonacci_petals.jpgszám, például a kálának 1, a boglárkának 5, a százszorszépnek pedig gyakran 34 vagy 55 szirma van.

A varázslatos számsor a zenében is elkísér minket. Ha csak a kromatikus skálára tekintünk, 13 félhangból áll, amelyet a zongora billentyűire nézve (mely ennek legkézenfekvőbb vizuális szemléltetése) pontosan 5 fekete és 8 fehér billentyűzet alkot. A legszebben csengő dúr akkord pedig sorrendben az 1-ső, 5-dik és 8-dik (sic!) hang együttes megszólaltatásával érhető el.

De felkaphatják a fejüket Douglas Adams rajongói is, hiszen a világmindenség értelmének kikiáltott 42-es szám nem más, mint a Fibonacci számsorozatban egymás után következő 8+13+21 összege. Sőt, másik két Fibonacci szám összege a 34 és a 8 összege is ugyanezt a számot adja eredményül.

fibonacci_spiral_everywhere.jpgHa pedig ezeket a számokat négyszögek oldalának hosszaként használjuk fel, a négyszögeket egymás mellé rakjuk és pontjaikat körívekkel összekötjük, akkor az aranyspirálhoz jutunk, amelyet a természet megannyi csodálatos teremtményében, sőt a világegyetemben is felfedezhetünk.

Ha megnézzük a napraforgó fejét, spirál alakzatokat fedezhetünk fel benne, egészen pontosan 21-et vagy 34-et, attól függően, melyik irányból nézzük. Az ananász esetében szintén felfedezhetjük a spirálokat, szám szerint 8-at illetve 13-at. Ugyanerre a spirálra ismerhetünk rá a Nautilus kagylóban vagy éppen a fejes káposztában. De, ha távolabbra tekintünk, a spirálgalaxisok is rendszerint ugyanezt az alakzatot mutatják.

 

Ki volt Fibonacci?

 

Az 1170 és 1250 között élt itáliai matematikus, Leonardo di Pisa (ma ismert nevén Leonardo Fibonacci) valószínűleg sosem gondolta volna, hogy az internet és a kreacionizmus látens híveinek köszönhetően ilyen legendássá válik az egyébként már a 6. századi Indiában is ismert számsorozat.

A XII. század Itáliájában még mindig a római számokat használták, amely igencsak megnehezítette a számokkal foglalkozók, elsősorban kereskedők életét. Leonardo maga is megtapasztalhatta ezt, amikor apjának segített, aki kereskedelmi ügyvivő volt az Almohád-Dinasztia szultánusában, a mai Algéria területén. Itt botlott bele az ifjú Leonardo az arabok által használt tízes számrendszerbe, amellyel sokkal egyszerűbben és hatékonyabban lehetett számolni. Több arab matematikusnál tanult, hogy minél jobban elmélyedjen a tízes számra az arab számok tudományában, majd 1200 körül hazatérve Liber Abaci című művében kezdje népszerűsíteni azokat.

A könyv a tízes számrendszer és vele való műveletek ismertetésén túl számos gyakorlati útmutatót kínált az élet különböző területeire, a súlyok és mértékegységek átváltásától a tőkekalkulációkon keresztül egészen a nyúltenyészet elméleti növekedési görbéjének meghatározásáig. Ez utóbbihoz használt, meglehetősen erőltetett példával vezette be az európai köztudatba az azóta misztikussá váló számsort, amelyet az iránta való tiszteletből róla neveztek el.

Miért vannak jelen mindenütt?

 

Valójában éppannyira vannak jelen, mint számos egyéb mintázat, amelyet matematikai modellekkel le tudunk írni. A misztikum azonban, amelyre cikkünk elején mi is példákat hoztunk fel, nem más, mint szemfényvesztés, egyszerű bűvészmutatvány. Kiragadott példákat kerestünk a Fibonacci számokra illetve a Fibonacci spirálra, nagyvonalúan elfeledkezve mindazon esetekről, amikor a Fibonacci rejtélyt semmilyen módon sem tudnánk ráerőltetni a természetre. 33 darab csigolyánk van, nyakcsigolyánk 7, hátcsigolyánk pedig 12. Egyikük sem Fibonacci szám. Ahogyan számos virágnak a Fibonacci számtól eltérő számú szirma van (pl. liliom 6, gardénia 9, hegyi babér 10). 

Nem magyaráztuk meg, miért 12 hangból áll egy oktáv, ahogyan azt sem, hogy a fülbemászó melankolikus dallamok elengedhetetlen kelléke, a moll akkord miért az 1-ső 4-dik és 8-dik (sic!) billentyű lenyomásával szólaltatható meg.

Szándékosan elfelejtettük megemlíteni a számsor néhány fontos matematikai törvényszerűségét. Egyrészt, hogy bármely egész szám felírható Fibonacci számok segítségével, másrészt bármely szám előállítható két vagy több olyan Fibonacci szám összeadásával, amelyek nem szomszédai egymásnak. Így nem okozott különösebb nehézséget a 42-t egymást követő, illetve egymással nem szomszédos Fibonacci számokból előállítani.

A spirális alakzatok tekintetében szintén csaltunk. Szándékosan olyan képeket közöltünk, ahol szabad szemmel nem megállapítható a különbség, csak ha egymásra tennénk a képet és a spirált.

fibonacci_true.jpg

 

A Fibonacci spirált gyakran hasonlítják az ún. aranyspirálhoz, amely nem más, mint az aranymetszésből ismert Fi alapú logaritmikus spirál. Természettudósok szerint a logaritmikus spirál mintázatát valóban sok élőlény próbálja követni, azon egyszerű oknál fogva, hogy ez a legjobb módszer az arányos növekedésre, a napraforgó tányérja esetében pedig megközelítőleg a leghatékonyabban tölthetik ki a magok a rendelkezésre álló területet. Némi kutatómunkával, a legszabályosabb egyedek megfelelő szögből történő lefényképezésével könnyen lehet találni olyan spirális alakzatokat, amelyek tökéletesen követik az arany spirált (ahogyan rengeteg olyat is, amelyek más spirál alakzatokat követnek), de a természet ritkán produkál matematikai tökéletességet, elég ha páros szerveink eltéréseire gondolunk. A művészeti alkotások kapcsán, ahol a kompozíció eleve megkövetel az alkotótól bizonyos aránytartásokat, szintén lehet találni példákat az aranyspirálra, illetve az aranyszámmal, a Fi-vel leírható aránypárokra. Ahogyan olyanokat is, ahol még véletlenül sem találjuk őket. 

Akkor semmi köze a Fibonacci számoknak az aranyszámhoz?

 

golden_vs_fibonacci_spiral.jpg

A fekete spirál a Fibonacci, a piros pedig a szabályos aranyspirál. Különösen az elején látható a különbség.

A Fi egy irracionális szám, közelítő értékkel 1,618, reciproka pedig 0,618. A Fibonacci számsor elemeire 55-től kezdődően valóban igaz, hogy az egymást követő számok hányadosai egyre jobban közelítik ezt az értéket, ebből adódóan a Fibonacci spirál és az aranyspirál között csak közelebbről szemügyre véve vehető észre a különbség.

Ám a Fibonacci számsor logikája alapján előállított bármely más számsorral is ugyanezt az arányt kapjuk. Próbáljuk ki például a 6, 7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, 225, 364, 589 számsort. 225-től kezdődően ugyanúgy Fi közelítő értékeket kapunk.

Mire jó mégis ez a Fibonacci őrület, és az aranyszám?

Ha élethű fát, vagy virágszirmot akarunk rajzolni, vagy biztosra akarunk menni egy kép beállításánál, a fenti arányok figyelembevételével biztosan nem lövünk mellé. Nem mellékesen pedig ilyen és ehhez hasonló szemet gyönyörködtető videókat lehet készíteni és megosztani.

 

A bejegyzés trackback címe:

http://curiocity.blog.hu/api/trackback/id/tr896784667

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Lazarbibi 2014.10.13. 19:26:35

Tőzsdén is tanítják szintek meghatározására, mert hogy azt sokan figyelik. Lehet hogy pont ezért nem mindig teljesül be :-)

Holly Goly 2014.10.13. 19:37:24

"1-ső 4-dik és 8-dik billentyű?" komolyan?
tudod, hogy írják ezt magyarul? 1., 4. és 8.

Curiocity 2014.10.13. 19:57:54

@Holly Goly: Köszönjük az észrevételt! Teljesen komolyan gondoltuk, mert előre megfontolt szándékból, stilisztikai okokból írtuk így a számokat. De elkerülendő a félreértéseket, ezt most jelezzük is a szövegben.

reservoir 2014.10.13. 20:14:51

@Curiocity: ez nem magyarázza meg a 42-őt.
Mi a szótő, negyvenket?

Curiocity 2014.10.13. 20:35:48

@reservoir: Ott a piros pont! Ezt a hibát pedig azért rejtettük el, hogy lássuk, ki olvas minket igazán figyelmesen:)

JungForever 2014.10.13. 20:52:18

Az önjelölt nyelvészek agya nem éri fel a Fibonacci számokat, ezért csak a számnevekhez tudnak hozzászólni. Őszinte részvétem, haver!

TBal 2014.10.20. 09:39:50

A Fibonacci-Sorozatban az elsö szám 1. Ha nulla lenne, akkor a fibonacci-sorozat összes tagja nulla lenne.

Egyébiránjt a zongorás dolgot nem értem - az ismétlödö egység a Dó-tól Ti-ig terjedö rész, azaz hét fehér és öt fekete billentyü, nem értem, miért vesszük be itt a felsö Dó-t is. Vagy a "Nem magyaráztuk meg, miért 12 hangból áll egy oktáv" (amiben a 12 az nem 13) lenne itt a megfejtés, és nyitott kapukat döngetek?

Curiocity 2014.10.20. 11:07:49

@TBal: Úgy van, "nyitott kapuk" :), a "12 hangból áll egy oktáv" a megfejtés.

Félreértések elkerülése végett, a cikk elejére citált állítások mindegyike az interneten keringő számmisztikai okfejtésekből merít (több ilyennél is megjelenik a "kromatikus skála 13-dik" hangja), míg a cikk második felében igyekszünk megmagyarázni, miért helytelenek ezek.

A Fibonacci sorozat kezdőfeltétele a 0 és az 1, minden további tag a rekurziós feltétel szerint az előző tag összege. Bővebben: www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/0046_adatstrukturak_es_algoritmusok/ch01s10.html

Curiocity 2014.10.20. 13:05:34

@áasdklfjáasn: Korábbi, más felhasználói néven tett hozzászólását azért töröltük, mert az a mostanihoz hasonló, nyomdafestéket nem tűrő stílusban íródott. A sértő, trágár kifejezéseket tartalmazó hozzászólásokat nem vesszük figyelembe, hanem töröljük.

Természetesen kulturált, a szerzőket és olvasókat egyaránt tiszteletben tartó hangnemben írt minden kritikai észrevételt szívesen veszünk és elolvasunk. Amennyiben pedig jogosnak tartjuk a kritikát, a szükséges módosítás(oka)t is eszközöljük cikkünkön, ahogyan azt eddig is tettük.

TBal 2014.10.20. 14:36:26

@Curiocity: OK, a Da Vinci-kódban 1-gyel kezdödött a Fibonacci-sorozat - nyilván a hivatalos matekdefiníció az erösebb - nekem mégis jobban tetszik az, ha 1 az elsö eleme, mert akkor minden további tagra igaz az, hogy az elözö két tag összege. Mivel az elsö tag elött nincs semmi, így a második tag kiszámolása semmi+1 = 1, szerintem a 0-t itt fölösleges külön definiálni.

A "12 hangból áll egy oktáv" az számomra kicsit sántít, az oktáv definíciója, amennyire én tudom, két hang közti távolságot jelentí, méghozzá ha egy hang frekvenciája x, akkor egy oktávval magasabb hang frekvenciája 2x. De amúgy értem, mit akarsz vele mondani.

Metálvörös 2015.11.23. 12:20:59

Ezt pontosan hogyan kellene érteni?
"a négyszögeket egymás mellé rakjuk és pontjaikat összekötjük, akkor az aranyspirálhoz jutunk"
Melyik pontjait kötjük össze? Vagy negyedköröket rajzolunk beléjük?
Csak a pontosság miatt kérdem.

Curiocity 2015.11.23. 13:27:38

@Metálvörös: Köszönjük az észrevételt! Valóban, a helyes mondat így hangzik:
"a négyszögeket egymás mellé rakjuk és pontjaikat körívekkel összekötjük, akkor az aranyspirálhoz jutunk"